如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，數(shù)學公式，AD⊥PB，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-DC-B的大小；
（3）若M是側(cè)棱PB中點，求直線CM與平面PAB所成角的正弦值．

證明：（1）在梯形PDCB中，PA⊥AD
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PA?面PAD
∴PA⊥面ABCD
解：（2）由（1）得：PA⊥平面ABCD
又CD⊥AD，
∴CD⊥PD
∴∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角
在Rt△PAD中，PA=AD=1，
∴∠PDA=45°
即二面角P-DC-B的大小為45°．
（3）作CE∥AD交AB于E點，連ME
∵AD⊥AB
∴CE⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴面PAB⊥面ABCD
∴CE⊥面PAB，
∴∠CME是CM與平面PAB所成的角
∵，
∴，
∴
分析：（1）由已知中AD⊥PB，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD我關(guān)鍵所在根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，即可得到PA⊥面ABCD；
（2）由（1）中結(jié)論，及二面角的定義可得∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角，解Rt△PAD即可得到二面角P-DC-B的大��；
（3）作CE∥AD交AB于E點，連ME，可證得∠CME是CM與平面PAB所成的角，解三角形CME即可得到直線CM與平面PAB所成角的正弦值．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理，（2）的關(guān)鍵是證得∠PDA就是二面角P-DC-B的平面角，（3）的關(guān)鍵是得到到∠CME是CM與平面PAB所成的角．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=
2
，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
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（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M是側(cè)棱PB中點，截面AMC把幾何體分成的兩部分，求這兩部分的體積之比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=
2
，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M為PB的中點，試求異面直線AN和BC所成的角的余弦值．
（Ⅲ）試問：在側(cè)棱PB上是否存在一點Q，使截面AQC把幾何體分成的兩部分的體積之比VPDCQA：VQACB=7：2？若存在，請求PQ的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=
2
，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
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（1）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（2）試在PB上找一點M，使截面AMC把幾何體分成兩部分，且VM-ACB=
1
3
VP-ABCD；
（3）在（2）的條件下，判斷AM是否平行于平面PCD．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=
2
，AD⊥PB，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
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（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-DC-B的大�。�
（3）若M是側(cè)棱PB中點，求直線CM與平面PAB所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•廣州三模）如圖，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB=3，DC=1，PD=BC=
2
，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求證：平面PAD⊥平面PCD．
（2）在線段PB上是否存在一點M，使截面AMC把幾何體分成的兩部分的體積之比為VPDCMA：V M-ACB=2：1，若存在，確定點M的位置；若不存在，說明理由．
（3）在（2）的條件下，判斷AM是否平行于平面PCD．

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