某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在85分以上（含85分）的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格．
（1）求出第4組的頻率；
（2）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？

解：（1）其它組的頻率為
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8，
所以第四組的頻率為0.2，…（5分）
（2）依題意良好的人數(shù)為40×0.4=16人，優(yōu)秀的人數(shù)為40×0.6=24人
優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu)秀3人，良好2人，記從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀為事件M，將考試成績優(yōu)秀的三名學(xué)生記為A，B，C，考試成績良好的兩名學(xué)生記為a，b 從這5人中任選2人的所有基本事件包括：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10個基本事件
事件M含的情況是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9個
所以…（12分）
分析：（1）根據(jù)頻率分步直方圖的性質(zhì)，根據(jù)所給的頻率分步直方圖中小矩形的長和寬，求出矩形的面積，即這組數(shù)據(jù)的頻率．
（2）根據(jù)概率公式計算，事件“5位同學(xué)中抽兩位同學(xué)”有10種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件“至少有一人是“優(yōu)秀””可能種數(shù)是9，那么即可求得事件M的概率．
點評：本題考查頻率分步直方圖的性質(zhì)，考查等可能事件的概率，本題是一個概率與統(tǒng)計的綜合題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組：第1組[160，165），第2組[165，170），第3組[170，175），第4組[175，180），第5組[180，85]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求第3，4，5組的頻率；
（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，該校決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3，4，5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•懷化二模）某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績共分五組，得到頻率分布表如下表所示．
組號 分組 頻數(shù) 頻率
第一組 [160，165） 5 0.05
第二組 [165，170） 35 0.35
第三組 [170，175） 30 a
第四組 [175，180） b 0.2
第五組 [180，185） 10 0.1
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）為了能選出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12人進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組中每組各抽取多少人進(jìn)入第二輪的面試；考生李翔的筆試成績?yōu)?78分，但不幸沒入選這100人中，那這樣的篩選方法對該生而言公平嗎？為什么？
（Ⅲ）在（2）的前提下，學(xué)校決定在12人中隨機(jī)抽取3人接受“王教授”的面試，設(shè)第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•昌平區(qū)二模）某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的筆試成績，繪制成頻率分布直方圖如圖所示，由圖中數(shù)據(jù)可知a=
0.040
0.040
；若要從成績在[85，90），[90，95），[95，100]三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取12人參加面試，則成績在[95，100]內(nèi)的學(xué)生中，學(xué)生甲被選取的概率為
2
5
2
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖南省懷化市高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績共分五組，得到頻率分布表如下表所示。

組號

分組

頻數(shù)

頻率

第一組

[160,165)

5

0.05

第二組

[165,170)

35

0.35

第三組

[170,175)

30

a

第四組

[175,180)

b

0.2

第五組

[180,185)

10

0.1

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）為了能選出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12人進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組中每組各抽取多少人進(jìn)入第二輪的面試；考生李翔的筆試成績?yōu)?78分，但不幸沒入選這100人中，那這樣的篩選方法對該生而言公平嗎？為什么？

（Ⅲ）在（2）的前提下，學(xué)校決定在12人中隨機(jī)抽取3人接受“王教授”的面試，設(shè)第4組中被抽取參加“王教授”面試的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖南省元月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

某高校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在85分以上（含85分）的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格.

（1）求出第4組的頻率;

（2）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好” 的學(xué)生中選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？

 

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