Question

已知正項數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求證：數列{b_n}為等比數列；
（2）記T_n為數列的前n項和，是否存在實數a，使得不等式對?n∈N₊恒成立？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）有條件可得 =2log₂（a_n+1），變形可得 =2，從而數列{b_n}為等比數列．
（2）求出數列的通項為 -，可得T_n =1-＜1，要使不等式對?n∈N₊恒成立，只要 ≥1  即可，即 ，
解不等式組求得a的取值范圍．
解答：解：（1）∵a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1，∴=2log₂（a_n+1），
∵b_n=log₂（a_n+1），∴=2，∴數列{b_n}為等比數列．
（2）∵數列{b_n}為等比數列，b₁=1，q=2，∴b_n=2^n-1，∴==-，
∴T_n=1-+-+…+-=1-＜1，∵不等式對?n∈N₊恒成立，
只要 ≥1=log_0.5^0.5  即可，即 ，即 ，
解得-≤a＜0，或  ＜a≤1，故a的取值范圍 為[-，0）∪（，1]．
點評：本題主要考查數列求和和的方法，等比關系的確定，以及函數的恒成立問題，尋找使不等式對?n∈N₊恒成立的條件，是解題的難點．