Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，其中一個焦點F（

3

，0）
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若B、C為橢圓E長軸的左、右兩端點，且

GC

=3

BG

，點A在橢圓E上．求|GA|的取值范圍．
（Ⅲ）若橢圓E與y軸的負半軸交于點P，l₁，l₂是過點P且互相垂直的兩條直線，l₁與以橢圓E的長軸為直徑的圓交于兩點M、N，l₂交橢圓E于另一點D，求△MND面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出

a2=b2+c2 c a = 3 2 c= 3

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）點B（-2，0），C（2，0），設G（x，0），A（x，y），|GA|=

(x+1)2+y2

=

3 4 (x+ 4 3 )2+ 2 3

，由此能求出|GA|的取值范圍．
（Ⅲ）設直線l₁：y=kx-1，直線l₂：x+ky+k=0，直線l₁被圓x²+y²=4所截的弦長|MN|=

2 3+4k2

1+k2

，由

x+ky+k=0 x2 4 +y2=1

，得（k²+1）x²+8kx=0，|DP|=

(1+ 1 k2 )• 64k2 (k2+4)2

=

8 k2+1

k2+4

，由此能求出△MND面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，其中一個焦點F（

3

，0），
∴

a2=b2+c2 c a = 3 2 c= 3

，解得a²=4，b²=1，
∴橢圓E的方程是

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵點B（-2，0），C（2，0），
設G（x，0），根據(jù)題意得（2-x，0）=3（x+2，0），
設點A（x，y），則

x2

4

+y2=1，
|GA|=

(x+1)2+y2

=

(x+1)2+1- x2 4

=

3 4 (x+ 4 3 )2+ 2 3

，
∵-2≤x≤2，
∴當x=-

4

3

時，|GA|有最小值

6

3

；當x=2時，|GA|有最大值3．
∴|GA|的取值范圍是[

6

3

，3]．
（Ⅲ）∵直線l₁⊥l₂，且都過點P（0，-1），
①當直線l₁，l₂的斜率都存在時，
設直線l₁：y=kx-1，直線l₂：x+ky+k=0，
∴圓心（0，0）到直線l₁：kx-y-1=0的距離為d=

1

1+k2

，
∴直線l₁被圓x²+y²=4所截的弦長|MN|=2

4-d2

=

2 3+4k2

1+k2

，
由

x+ky+k=0 x2 4 +y2=1

，得（k²+1）x²+8kx=0，
∴xD+xP=-

8k

k2+4

，
∴|DP|=

(1+ 1 k2 )• 64k2 (k2+4)2

=

8 k2+1

k2+4

，
S△MND=

1

2

|MN||DP|
=

1

2

×

2 3+4k2

1+k2

×

8 k2+1

k2+4

=

8 4k2+3

k2+4

=

4×8 4k2+3

4k2+3+13

=

32

4k2+3 4k2+3 + 13 4k2+3

=

32

4k2+3 + 13 4k2+3

≤

16

13

13

．
當且僅法

4k2+3

=

13

4k2+3

，即k²=

5

2

時，等號成立，
∴△MND面積的最大值為

16

13

13

．
②當l₁，l₂有一條斜率不存在時，△MND的面積為2

3

，
綜上所述，△MND面積的最大值為

16

13

13

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查線段取值范圍的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式的合理運用．