Question

18．已知?x₀∈R使不等式|x-1|-|x-2|≥t成立．
（1）求滿足條件的實數(shù)t的集合T；
（2）若m＞1，n＞1，對?t∈T，不等式log₃m•log₃n≥t恒成立，求mn的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，|x-1|-|x-2|的最大小于或等于t，利用絕對值三角不等式求得|x-1|-|x-2|的最大值為1，可得t的范圍，從而求得T．
（2）由題意可得log₃m•log₃n≥1，利用基本不等式log₃m•n≥2$\sqrt{{log}_{3}m{•log}_{3}n}$≥2=log₃9，從而求得mn的最小值．

解答 解：（1）∵?x₀∈R使不等式|x-1|-|x-2|≥t成立，∴|x-1|-|x-2|的最大值大于或等于t，
∵|x-1|-|x-2|≤|x-1-（x-2）|=2，當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤2時，取等號，
故|x-1|-|x-2|的最大值為1，∴t≤1，故T={t|t≤1}．
（2）∵m＞1，n＞1，對?t∈T，不等式log₃m•log₃n≥t恒成立，∴l(xiāng)og₃m•log₃n≥1．
又log₃m+log₃n=log₃m•n≥2$\sqrt{{log}_{3}m{•log}_{3}n}$≥2=log₃9，∴mn≥9，故mn的最小值為9．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．