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已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直于直線l1，垂足為點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（3）設C2與x軸交于點Q，不同的兩點R，S在C2上，且滿足
QR
•
RS
=0，求|
QS
|的取值范圍．
（1）由e=
3
3
得2a2=3b2，又由直線l：y=x+2與圓x2+y2=b2相切，
得b=
2
，a=
3
，∴橢圓C1的方程為：
x2
3
+
y2
2
=1．（4分）
（2）由MP=MF2得動點M的軌跡是以l1：x=-1為準線，
F2為焦點的拋物線，∴點M的軌跡C2的方程為y2=4x．（8分）
（3）Q（0，0），設R(
y21
4
，y1)，S(
y22
4
，y2)，
∴
QR
=(
y21
4
，y1)，
RS
=(
y22
-
y21
4
，y2-y1)，
由
QR
•
RS
=0，得
y21
(
y22
-
y21
)
16
+y1(y2-y1)=0，∵y1≠y2
∴化簡得y2=-y1-
16
y1
，（10分）
∴
y22
=
y21
+
256
y21
+32≥2
256
+32=64（當且僅當y1=±4時等號成立），
∵|
QS
|=
(
y22
4
)2+
y22
=
1
4
(
y22
+8)2-64
，
又∵y22≥64，∴當y22=64，即y2=±8時|
QS
|min=8
5
，
∴|
QS
|的取值范圍是[8
5
，+∞)．（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，其中F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓C1上，對角線BD所在的直線的斜率為1．
①當直線BD過點（0，
1
7
）時，求直線AC的方程；
②當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一條準線方程是x=
25
4
，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為3x-5y=0．
（1）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；
（2）在第一象限內取雙曲線C2上一點P，連接AP交橢圓C1于點M，連接PB并延長交橢圓C1于點N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2
2
與以原點為圓心、以橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程．
（Ⅱ）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1，且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD為橢圓C1的兩條相互垂直的弦，垂足為右焦點F2，求四邊形ABCD的面積的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點，若C1恰好將線段AB三等分，則b2=
0.5
0.5
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，右頂點為A，離心率e=
1
2

（1）設拋物線C2：y2=4x的準線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點為頂點，頂點為焦點，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點，問是否存在常數λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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