Question

17．（1）求f（x）=$\frac{2x+3}{x-2}$的值域；
（2）求f（x）=$\frac{2x+3}{x-2}$，x∈[3，8]的值域．

Answer 1

分析 （1）采用分離常數(shù)法求解即可．
（2）采用分離常數(shù)法，分離后，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性即可求解x∈[3，8]的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{2x+3}{x-2}$，定義域為{x∈R|x≠2}
可化解為：f（x）=$\frac{2（x-2）+7}{x-2}$=2$+\frac{7}{x-2}$
∵x≠2
∴$\frac{7}{x-2}≠0$
∴f（x）≠2
故得函數(shù)f（x）的值域為（-∞，2）∪（2，+∞）；
（2）f（x）=$\frac{2x+3}{x-2}$，x∈[3，8]，
可化解為：f（x）=$\frac{2（x-2）+7}{x-2}$=2$+\frac{7}{x-2}$
∵y=x-2是一次函數(shù)，k＞0，在x∈[3，8]是單調(diào)增區(qū)間．
∴1≤x-2≤6
則：$\frac{7}{6}≤\frac{7}{x-2}≤7$
∴$\frac{19}{6}$≤f（x）≤9
故得函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{19}{6}$，9]．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．注意定義域的范圍要求．