Question

現(xiàn)有變換公式T：可把平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)P（x，y）變換到這一平面上的一點(diǎn)P′（x′，y′）．
（1）若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2．求該橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個焦點(diǎn)F₁、F₂經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F₁^′和F₂^′的坐標(biāo)；
（2）若曲線M上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合，則稱點(diǎn)P是曲線M在變換T下的不動點(diǎn)．求（1）中的橢圓C在變換T下的所有不動點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換T下的不動點(diǎn)的存在情況和個數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)題a²-b²=2，a²+b²=4，聯(lián)立方程組，求的a和b，則橢圓方程方程可得．根據(jù)橢圓的性質(zhì)可氣的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入變換公式中即可求的點(diǎn)F₁^′和F₂^′的坐標(biāo)．
（2）依題意設(shè)不動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）依題意則有m+n=m，求的m和n的關(guān)系代入橢圓方程中求的n和m，則不動點(diǎn)坐標(biāo)可得．
（3）設(shè)曲線M在變換T下的不動點(diǎn)P（x，y）分情況看橢圓和雙曲線時，先根據(jù)變換公式求的x和y的關(guān)系，代入橢圓或雙曲線方程看方程得解．
解答：解：（1）依題意可知解得a²=3，b²=1
∴橢圓方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（，0），F(xiàn)₂（-，0）
依題意F₁^′的坐標(biāo)為（，），F(xiàn)₂^′（-，-）
（2）依題意設(shè)不動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）依題意則有m+n=m，整理的m=3n，代入橢圓方程得
，解得n=，m=或n=-，m=-
∴不動點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（-，-）
（3）由（2）可知，曲線M在變換T下的不動點(diǎn)P（x，y）需滿足
情形一：據(jù)題意，不妨設(shè)橢圓方程為（m＞0，n＞0），
則有．
因?yàn)閙＞0，n＞0，所以恒成立，
因此橢圓在變換T下的不動點(diǎn)必定存在，且一定有2個不動點(diǎn)．
情形二：設(shè)雙曲線方程為（mn＜0），
則有，因?yàn)閙n＜0，
故當(dāng)9n+m=0時，方程無解；
當(dāng)9n+m≠0時，故要使不動點(diǎn)存在，則需，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點(diǎn)．否則不存在不動點(diǎn)．
進(jìn)一步分類可知，
（i）當(dāng)n＜0，m＞0時，．
即雙曲線的焦點(diǎn)在
軸上時，需滿足時，雙曲線在變換
下一定有2個不動點(diǎn)．否則不存在不動點(diǎn)．
（ii）當(dāng)n＞0，m＜0時，．
即雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時，需滿足時，雙曲線在變換T下一定有2個不動點(diǎn)．否則不存在不動點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．考查了學(xué)生對圓錐曲線知識的綜合掌握．