Question

（本小題滿分13分）

如圖，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC＝CC₁，M為AB的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：BC₁∥平面MA₁C；

（Ⅱ）求證：AC₁⊥平面A₁BC。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設(shè)AC₁∩A₁C=O，連結(jié)MO，四邊形AA₁C₁C為矩形，AO=OC_1，AO=OC₁，AM=MB，所以MO∥BC_1，所以∥平面MA₁C（Ⅱ）矩形AA₁C₁C中，因?yàn)锳C=CC₁，所以AC₁⊥A₁C，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，所以CC₁⊥BC，因?yàn)锳C⊥BC BC⊥平面ACC₁A_1，所以BC⊥AC_1，所以AC₁⊥平面A₁BC

【解析】

試題分析：（Ⅰ）如圖，設(shè)AC₁∩A₁C=O，連結(jié)MO，

因?yàn)橹比�棱柱ABC－A₁B₁C₁，

所以四邊形AA₁C₁C為矩形，

所以AO=OC₁,

在△AC₁B中，因?yàn)锳O=OC₁，AM=MB，

所以MO∥BC₁.                      3分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050119042853705216/SYS201305011904533182721197_DA.files/image003.png">平面MA₁C，MO平面MA₁C，

所以∥平面MA₁C。             6分

（Ⅱ）在矩形AA₁C₁C中，因?yàn)锳C=CC₁，

所以AC₁⊥A₁C。                  8分

因?yàn)橹比�棱柱ABC－A₁B₁C₁，

所以CC₁⊥BC，

又因?yàn)锳C⊥BC，AC∩CC₁=C，

所以BC⊥平面ACC₁A₁，        10分

所以BC⊥AC₁。               11分

又因?yàn)锽C∩A₁C=C，AC₁⊥A₁C，

所以AC₁⊥平面A₁BC。      13分

考點(diǎn)：線面平行垂直的判定與性質(zhì)

點(diǎn)評：平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則直線平行于平面；一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，則直線垂直于平面