Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x²-3a²x-2a-25
（1）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a＞0，當(dāng)0≤x≤3時(shí)f（x）≤x²+a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得f′（x）=3x²+2x-3a²≤0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，解不等式組，解出即可；
（2）由題意得x³-3a²x-3a-25≤0對(duì)x∈[0，3]恒成立，對(duì)a進(jìn)行討論，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得f′（x）=3x²+2x-3a²≤0對(duì)x∈[-1，1]恒成立，
∴

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

，解得：a≤-

15

3

或a≥

15

3

，
（2）由題意得x³-3a²x-3a-25≤0對(duì)x∈[0，3]恒成立，
令h（x）=x³-3a²x-3a-25，
則h′（x）=3（x+a）（x-a），
∴h（x）在[0，a]遞減，在[a，+∞）遞增，
當(dāng)a≥3時(shí)，h（0）=-3a-25≤0，滿足題意，
當(dāng)0＜a＜3時(shí)，

h(0)=-3a-25≤0 h(3)=2-9a2-3a≤0

，
解得：

1

3

≤a≤3，
綜上：a≥

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．