Question

正實數a、b、c是等差數列，函數f（x）=ax²+bx+c的圖象與x軸有兩個交點，則x₁•x₂的符號是 ______（填正或負），其取值范圍是 ______．

Answer 1

（1）令f（x）=0，得到ax²+bx+c=0為一個一元二次方程，
根據韋達定理可知x₁•x₂=

c

a

，因為a＞0且c＞0得到x₁•x₂的符號為正；

（2）由題知a、b、c是等差數列，則2b=a+c即b=

a+c

2

，
因為函數圖象與x軸有兩個交點，得到△=b²-4ac＞0，
即(

a+c

2

)2-4ac＞0，化簡得a²+c²-14ac＞0，兩邊都除以a²得：(

c

a

)2-14•

c

a

+1＞0，
設t=x₁•x₂=

c

a

，則不等式變?yōu)椋簍²-14t+1＞0，
化簡得：[t-（7+4

3

）][t-（7-4

3

）]＞0，
所以t＞7+4

3

或t＜7-4

3

則x₁•x₂的取值范圍是（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞）．
故答案為：正，（0，7-4

3

）∪（7+4

3

，+∞）