如圖，已知定點R（0，-3），動點P，Q分別在x軸和y軸上移動，延長PQ至點M，使，且．
（1）求動點M的軌跡C1；
（2）圓C2：x2+（y-1）2=1，過點（0，1）的直線l依次交C1于A，D兩點（從左到右），交C2于B，C兩點（從左到右），求證：為定值．

【答案】分析：（1）設(shè)M的坐標(biāo)，表示出P，Q的坐標(biāo)，可得的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式，可得軌跡方程，從而可得軌跡；
（2）由題意，=AB•CD，AB=FA-FB=y1+1-1=y1，CD=y2，設(shè)出直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)M（x，y），則
由，可得
∴
∵，
∴
∴x2=4y
∴動點M的軌跡C1是頂點在原點，開口向上的拋物線；
（2）證明：由題意，=AB•CD，圓C2：x2+（y-1）2=1的圓心即為拋物線C1的焦點F
設(shè)A（x1，y1），D（x2，y2），則AB=FA-FB=y1+1-1=y1，
同理CD=y2，
設(shè)直線的方程為x=k（y-1）
代入拋物線方程可得k2y2-（2k2-4）y+k2=0
∴=AB•CD=y1y2=1．
點評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直．直線（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南通一模）如圖，已知定點R（0，-3），動點P，Q分別在x軸和y軸上移動，延長PQ至點M，使
PQ
=
1
2
QM
，且
PR
•
PM
=0．
（1）求動點M的軌跡C1；
（2）圓C2：x2+（y-1）2=1，過點（0，1）的直線l依次交C1于A，D兩點（從左到右），交C2于B，C兩點（從左到右），求證：
AB
•
CD
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知圓C:(x+1)2+y2=r2(r為常數(shù)，且r＞2)，定點B(1，0)，A是圓C上的動點，直線AC與線段AB的垂直平分線l相交于點M．當(dāng)點A在圓C上移動一周時，點M的軌跡記為曲線F．

(1)求曲線F的方程；

(2)求證：直線l與曲線F只有一個公共點M；

(3)若r=4，點M在第一象限，且，記直線l與直線CM的夾角為，

求tan．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖南師大附中高三（下）第八次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓的長軸為AB，過點B的直線l與x軸垂直．直線（2-k）x-（1+2k）y+（1+2k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點恰好是橢圓的一個頂點，且橢圓的離心率．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點，PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q使得HP=PQ，連接AQ延長交直線l于點M，N為MB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

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