Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x-2）²+（y-2）²=4，動圓C₂過點（2，0）和（-2，0），記兩圓的交點為A、B，
（1）如果直線AB的方程為x-y-2=0，求圓C₂的方程；
（2）設(shè)M為線段AB的中點，求|OM|的最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）聯(lián)立AB的方程和圓C：（x-2）²+（y-2）²=4，可求得A和B的坐標(biāo)，求出點（2，0）和（-2，0）構(gòu)成弦的中垂線為x=0，弦AB的中垂線方程為y=-x+4，聯(lián)立解得C₂的圓心坐標(biāo)為（0，4），由此寫出C₂的方程；
（2）假設(shè)B點坐標(biāo)為（2+2cosθ，2+2sinθ），M為AB中點，則有M點坐標(biāo)為（2+cosθ，1+sinθ），求出OM²的最大值，即可求|OM|的最大值．

解答： 解：（1）聯(lián)立AB的方程和圓C：（x-2）²+（y-2）²=4，可求得A和B的坐標(biāo)分別為（2，0）和（4，2）
因為圓心在弦的中垂線上，點（2，0）和（-2，0）構(gòu)成弦的中垂線為x=0
弦AB的中垂線方程為y=-x+4
聯(lián)立解得C₂的圓心坐標(biāo)為（0，4），由此寫出C₂的方程為x²+（y-4）²=20
（2）因為B在圓C₁上，假設(shè)B點坐標(biāo)為（2+2cosθ，2+2sinθ）
M為AB中點，則有M點坐標(biāo)為（2+cosθ，1+sinθ）
OM²=（2+cosθ）²+（1+sinθ）²=4+4cosθ+cos²θ+1+2sinθ+sin²θ
=6+4cosθ+2sinθ=6+2

5

sin（θ+α）  這里的α=arcsin

2

5

，
所以可知OM²的最大值為6+2

5

，
所以|OM|_max=1+

5

．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查參數(shù)法的運用，屬于中檔題．