Question

（2003•海淀區(qū)一模）已知半圓x²+y²=4（y≥0），動(dòng)圓與此半圓相切且與x軸相切
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心軌跡，并畫出軌跡圖形
（Ⅱ）在所求軌跡曲線上求點(diǎn)P，使得點(diǎn)P與定點(diǎn)Q（0，6）的距離為5．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出動(dòng)圓圓心坐標(biāo)，分兩圓外切和內(nèi)切列式，整理后即可得到動(dòng)圓圓心的軌跡；
（Ⅱ）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式列式，然后討論|x|＞2和|x|＜2兩種情況求解P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（I）設(shè)動(dòng)圓圓心M（x，y）作MN⊥x軸于N
①若兩圓外切，|MO|=|MN|+2，∴

x2+y2

=y+2
x²+y²=y²+4y+4，∴x²=4（y+1）（y＞0）．
②若兩圓內(nèi)切，|MO|=2-|MN|，∴

x2+y2

=2-y
x²+y²=y²-4y+4∴x²=-4（y-1）（y＞0）．
綜上，動(dòng)圓圓心的軌跡方程是x²=4（y+1）（y＞0）及x²=-4（y-1）（y＞0）
其圖象為兩條拋物線位于x軸上方的部分；作圖如右：
（II）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，y）
當(dāng)|x|＞2時(shí)，|PQ|=

x2+(y-6)2

=

4(y+1)+y2-12y+36

=

y2-8y+40

=5
解得：y=3或5，∴點(diǎn)P坐標(biāo)(±4，3)，(±2

6

，5)
當(dāng)|x|＜2時(shí)，y∈（0，1]，|PQ|=

-4(y-1)+y2-12y+36

=5
解得：y=1或y=15（舍），進(jìn)而求得x=0，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（0，1）
故點(diǎn)P坐標(biāo)為(±4，3)，(±2

6

，5)；(0，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了函數(shù)圖形的作法，屬中高檔題．