Question

15．已知z為復數(shù)，i是虛數(shù)單位，z+3+4i和$\frac{z}{1-2i}$均為實數(shù)．
（1）求復數(shù)z；
（2）若復數(shù)（z-mi）²在復平面上對應的點在第二象限，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復數(shù)的運算法則、復數(shù)為實數(shù)的充要條件即可得出．
（2）利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．

解答 （1）解：設(shè)z=a+bi（a、b∈R），則$z+3+4i=（a+3）+（b+4）i，\frac{z}{1-2i}=\frac{（a+bi）（1+2i）}{5}=\frac{（a-2b）+（2a+b）i}{5}$（2分）
∵z+3+4i和$\frac{z}{1-2i}$均為實數(shù)，∴$\left\{\begin{array}{l}b+4=0\\ 2a+b=0\end{array}\right.$（4分）
解得a=2，b=-4，∴z=2-4i（6分）
（2）解：（z-mi）²=[2-（m+4）i]²=4-（m+4）²-4（m+4）i（8分）
由已知：$\left\{\begin{array}{l}4-{（m+4）^2}＜0\\ m+4＜0\end{array}\right.$，（10分）
∴m＜-6，故實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-6）．（12分）

點評 本題考查了復數(shù)的運算法則、復數(shù)為實數(shù)的充要條件、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．