Question

如果關(guān)于x的方程sin²x-（2+a）sinx+2a=0在x∈[-

π

6

，

5π

6

]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：討論x的取值，得出sinx的取值情況，設(shè)sinx=t，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（t）=t²-（2+a）t+2a在[-

1

2

，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，和f（t）在[

1

2

，1]上有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍．

解答： 解：∵x∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

2

]時(shí)，
sinx∈[-

1

2

，1]，
x∈（

π

2

，

5π

6

]時(shí)，sinx∈[

1

2

，1）；
設(shè)sinx=t，
則t²-（2+a）t+2a=0；
∴當(dāng)函數(shù)f（t）=t²-（2+a）t+2a在[-

1

2

，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴

f(- 1 2 )≥0 f(1)≥0 △＞0 - 1 2 ＜ 2+a 2 ＜1

，
即

a≥- 1 2 a≥1 a≠2 -3＜a＜0

，
不等式的解集為∅；
當(dāng)函數(shù)f（t）=t²-（2+a）t+2a在[

1

2

，1]上有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，
f（

1

2

）•f（1）＜0，
解得

1

2

＜a＜1，滿足題意；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|

1

2

＜a＜1}．

點(diǎn)評：本題考查了求函數(shù)的零點(diǎn)的問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．