Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E為PC的中點，M為AB的中點，點F在PA上，且AF=2FP．
（1）求證：CM∥平面BEF；
（2）求證：三棱錐F-ABE的體積．
（3）求BE與平面PAB所成角．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AF的中點G，AB的中點M，連接CG，CM，GM，E為PC中點，F(xiàn)A=2FP，F(xiàn)E∥CG，根據(jù)線面平行的判定定理推斷出CG∥面BEF．同理可證GM∥面BEF．又GC∩GM=G，進而可知面CMG∥面EFB，進而根據(jù)面面平行的性質(zhì)推斷出CM∥面BEF．
（2）由PB⊥底面ABV，且AC?底面ABC，推斷出AC⊥PB，由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，又PB∩CB=B，推斷出AC⊥平面PBC，BE?平面PBC，進而可知AC⊥BE，PB=BC，E為PC中點，可知BE⊥PC，根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出BE⊥平面PAC，又由已知可得BE=2

2

．求得三角形AEF的面積則利用等體積法求得三棱錐F-ABE的體積．
（3）由AC=BC，且M為AB中點，推斷出CM⊥AB，又PB⊥面ABC，CM?ABC，根據(jù)線面垂直的判定定理知CM⊥面ABP由于E為PC中點，所以點E到面PAB的距離為點C到面PAB的距離的

1

2

，求得sinθ=

1

2

，則BE與平面PAB所成角可求．

解答： （1）證明：取AF的中點G，AB的中點M，連接CG，CM，GM，
∵E為PC中點，F(xiàn)A=2FP，
∴FE∥CG．
∵CG?面BEF，EF?面BEF，∴CG∥面BEF．
同理可證：GM∥面BEF．又GC∩GM=G，
∴面CMG∥面EFB．
∵CM?面CMG，∴CM∥面BEF．
（2）證明：∵PB⊥底面ABV，且AC?底面ABC，
∴AC⊥PB，
由∠BCA=90°，可得AC⊥CB，
又∵PB∩CB=B，
∴AC⊥平面PBC，BE?平面PBC，
∴AC⊥BE，
∵PB=BC，E為PC中點，
∴BE⊥PC，
∵PC∩AC=C，
∴BE⊥平面PAC，
又由已知可得BE=2

2

．S△_AEF=

1

3

S_△PAC=

1

3

×

1

2

AC•PC=

8 2

3

，
∴V_F-ABE=V_B-AEF=

1

3

S_△AEF•BE=

32

9

，
∴三棱錐F-ABE的體積為

32

9

．
（3）解：∵AC=BC，且M為AB中點，
∴CM⊥AB
又∵PB⊥面ABC，CM?ABC，
∴CM⊥PB，AB∩PB=B，
∴CM⊥面ABP
由于E為PC中點，所以點E到面PAB的距離為點C到面PAB的距離的

1

2

，
∴hE=

1

2

CM=

2

，EB=

1

2

CP=2

2

，sinθ=

1

2

則BE與平面PAB所成角為30°．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理，棱錐體積的求法，線面平行的判定．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的綜合運用．