已知函數(shù)f(x)=
ax+1x+2
，其中a∈R
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，+∞）為增函數(shù)，求a的取值范圍．
分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)計算函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，計算切線斜率，最后由點斜式寫出切線方程即可；
（2）先將函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，+∞）為增函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0在區(qū)間（-2，+∞）上恒成立但不能恒等于0問題，解這個不等式恒成立問題即可得a的取值范圍
解答：解：（1）當a=1時，f(x)=
x+1
x+2

f′（x）=
x+2-x-1
(x+2)2
=
1
(x+2)2

∴f′（2）=
1
16
，f（2）=
3
4

∴曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y-
3
4
=
1
16
（x-2）
即x-16y+10=0
（2）f′（x）=
a(x+2)-(ax+1)
(x+2)2
=
2a-1
(x+2)2

∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，+∞）為增函數(shù)
∴f′（x）≥0在區(qū)間（-2，+∞）上恒成立但不能恒等于0
即
2a-1
(x+2)2
＞0在區(qū)間（-2，+∞）上恒成立
只需2×a-1＞0即可
∴a＞
1
2
點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的四則運算，不等式恒成立問題的解法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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