Question

設(shè)橢圓M：（a＞b＞0）的離心率為，長軸長為，設(shè)過右焦點(diǎn)F傾斜角為θ的直線交橢圓M于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（2）設(shè)過右焦點(diǎn)F且與直線AB垂直的直線交橢圓M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于a，b，c的方程組；解之即得a，b，從而寫出所求橢圓M的方程；
（Ⅱ）當(dāng)θ≠，設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，焦點(diǎn)F （ 3，0 ），則直線AB的方程為y=k （ x-3 ），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得|AB|+|CD|的最小值，從而解決問題．
解答：解：（Ⅰ）⇒所求橢圓M的方程為…（3分）
（Ⅱ）當(dāng)θ≠，設(shè)直線AB的斜率為k=tanθ，焦點(diǎn)F （ 3，0 ），則直線AB的方程為y=k （ x-3 ）有⇒（ 1+2k² ）x²-12k²x+18（ k²-1 ）=0
設(shè)點(diǎn)A （ x₁，y₁ ），B （ x₂，y₂ ）有x₁+x₂=，x₁x₂=
|AB|=
又因?yàn)閗=tanθ=代入**式得|AB|=
當(dāng)θ=時，直線AB的方程為x=3，此時|AB|=
而當(dāng)θ=時，|AB|==
∴|AB|=
同理可得|CD|==
有|AB|+|CD|=+=
因?yàn)閟in2θ∈[0，1]，所以 當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1時，|AB|+|CD|有最小值是
點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．