Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在上的最值；

（2）若，當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，總有，求此時(shí)實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

(2) .

【解析】分析：，∵，∴，∴，∴在上單調(diào)遞增，即可求解；（2）g′（x）=（x2+2x-1-a）ex，x1+x2=-2，a＞-2，x2∈（-1，+∞），g（x2）≤t（2+x1）（ex2+1）（x22-1-a）ex2≤t（2+x1））（ex2+1），-2x2ex2≤t（-x2）（ex2+1），當(dāng)x2=0時(shí)，t∈R；當(dāng)x2∈（-1，0）時(shí)，恒成立，當(dāng)x2∈（0，+∞）時(shí)，恒成立，綜上所述.

詳解：

（1），

∵，∴，∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

（2），則

根據(jù)題意，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，

所以,即,且.由，

可得，又，

所以上式化為對(duì)任意的恒成立.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，即.

令函數(shù)，顯然，是上的增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，，所以.

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，恒成立，即.

由（ⅱ）得，當(dāng)時(shí)，，所以.

綜上所述.