Question

13．已知：數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2a_n-2ⁿ=S_n，
（1）求證：數(shù)列{a_n-n•2^n-1}是等比數(shù)列；
（2）求：數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若數(shù)列{b_n}中b_n=$\frac{{（{n^2}+19）•{2^n}}}{a_n}$，求：b_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由2a_n-2ⁿ=S_n，得出$2{a_{n+1}}-{2^{n+1}}={S_{n+1}}$，兩式相減得出遞推公式，計算a_n+1-（n+1）•2ⁿ整理即可得出a_n+1-（n+1）•2ⁿ=$2（{{a_n}-n•{2^{n-1}}}）$；
（2）由（1）的結(jié)果得出{a_n-n•2^n-1}的通項公式，從而得出a_n；
（3）求出b_n，計算b_n+1-b_n，得出{b_n}的單調(diào)性，從而確定{b_n}的最小項．

解答 解：（1）證明：∵$2{a_n}-{2^n}={S_n}$，∴$2{a_{n+1}}-{2^{n+1}}={S_{n+1}}$．
兩式相減得${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}$，
∴${a_{n+1}}-（{n+1}）•{2^n}=2{a_n}+{2^n}-（{n+1}）•{2^n}$=$2（{{a_n}-n•{2^{n-1}}}）$，
∵${a_1}-1•{2^{n-1}}=1≠0$，
∴數(shù)列$\left\{{{a_n}-n•{2^{n-1}}}\right\}$是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）知${a_n}-n•{2^{n-1}}={2^{n-1}}$，即${a_n}=（{n+1}）{2^{n-1}}$．
（3）${b_n}=\frac{{（{n^2}+19）•{2^n}}}{a_n}=\frac{{（{n^2}+19）•{2^n}}}{{（{n+1}）{2^{n-1}}}}=2×\frac{{{n^2}+19}}{n+1}$，
∴b_n+1-b_n=2（$\frac{（n+1）^{2}+19}{n+2}$-$\frac{{n}^{2}+19}{n+1}$）=$\frac{2（{n}^{2}+3n-18）}{（n+1）（n+2）}$．
令n²+3n-18≥0解得n≥3，令n²+3n-18＜0解得n≤2．
∴n=1，2，3時，數(shù)列遞減；n=4，5，6，…時，數(shù)列遞增；
∵${b_3}=2×\frac{{{3^2}+19}}{3+1}=14$，${b_4}=2×\frac{{{4^2}+19}}{4+1}=14$，
∴當n=3或n=4時，（b_n）_min=14．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推式及通項公式的求解，等比關(guān)系的判斷，屬于中檔題．