Question

(2006北京，20)在數(shù)列中，若是正整數(shù)，且，n=3，4，5，…，則稱為“絕對差數(shù)列”．

(1)舉出一個前五項不為零的“絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項)；

(2)若“絕對差數(shù)列”中，，數(shù)列滿足，n=1，2，3，…，分別判斷當(dāng)n→∞時，與的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；

(3)證明：任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)，，，，，，，，，(答案不唯一)． (2)因為在絕對差數(shù)列中，，，所以自第20項開始，該數(shù)列是，，，，，，，，…． 即自第20項開始，每三個相鄰的項周期地取值3，0，3，所以當(dāng)n→∞時，的極限不存在． 當(dāng)n≥20時，．所以． (3)證明：根據(jù)定義，數(shù)列必在有限項后出現(xiàn)零項，證明如下： 假設(shè)中沒有零項，由于，所以對于任意的n，都有，從而 當(dāng)時，； 當(dāng)時，， 即的值要么比至少小1，要么比至少小1． 令 n=1，2，3… 則． 由于是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項，這與(n=1，2，3，…)矛盾．從而必有零項． 若第一次出現(xiàn)的零項為第n項，記，則自第n項開始，每三個相鄰的項周期地取值0，A，A， 即． 所以絕對差數(shù)列中有無窮多個為零的項．

提示：

剖析：本題主要考查數(shù)列、極限以及對新概念的理解能力．