Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=-5，a_n+1=2a_n+3n+1，已知存在常數(shù)p，q使數(shù)列{a_n+pn+q}為等比數(shù)列．
（1）求常數(shù)p、q及{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）解方程a_n=0．
（3）求|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

解：（1）由條件令，a_n+1+p（n+1）+q=k（a_n+pn+q），
則：a_n+1=ka_n+（kp-p）n+kq-q-p
故：?
又a₁+p+q=2
∴，∴（5分）
（2）計算知a₁=-5，a₂=-6，a₃=-5，a₄=0，a₅=13，
故猜測n≥5，a_n＞0即2ⁿ＞3n+4，下證．
（i）當(dāng)n=5成立
（ii）假設(shè)n=k（k≥5）成立，即2^k＞3k+4
那么2^k+1＞2•（3k+4）=6k+8＞
故n=k+1成立．
由（i）、（ii）可知命題成立．
故a_n=0的解為n=4．（4分）
（3）由（2）可得，當(dāng)n≤3時，|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃）+a₄+a₅+…+a_n=a₁+a₂+…+a_n-2（a₁+a₂+a₃）
=（4分）
分析：（1）假設(shè)存在，利用等比的性質(zhì)建立方程，根據(jù)同一性求參數(shù)的值，即可求解
（2）計算可求a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，猜測n≥5，a_n＞0，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，結(jié)合計算即可求解滿足條件的n
（3）由（2）可得，當(dāng)n≤3時，|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+a₃）+a₄+a₅+…+a_n=a₁+a₂+…+a_n-2（a₁+a₂+a₃），結(jié)合（1）可求
點(diǎn)評：本題考查等比關(guān)系的確定，分組求和方法及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用是解答（2）的關(guān)鍵，