Question

若實數(shù)x₁，y₁，x₂，y₂滿足（y₁+x₁²-3lnx₁）²+（x₂-y₂+2）²=0，則（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為（　�。�

• A、8
• B、2

  2

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡已知條件，得到兩個函數(shù)，利用厚生的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，利用平行線之間的距離求解即可．

解答： 解：實數(shù)x₁，y₁，x₂，y₂滿足（y₁+x₁²-3lnx₁）²+（x₂-y₂+2）²=0，
可得y₁=-x₁²+3lnx₁，并且x₂-y₂+2=0，（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值轉(zhuǎn)化為：函數(shù)y=-x²+3lnx圖象上的點(diǎn)與x-y+2=0圖象上的點(diǎn)的距離的最小值，
由y=-x²+3lnx可得y′=-2x+

3

x

．與直線x-y+2=0平行的直線的斜率為1，所以-2x+

3

x

=1，解得x=1，
切點(diǎn)坐標(biāo)（1，-1），與x-y+2=0平行的直線為：y+1=x-1，即x-y-2=0
（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為：(

|2+2|

1+1

)2=8．
故選：A

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想．