Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分
（1）二階矩陣M對應(yīng)的變換將向量，分別變換成向量，，直線l在M的變換下所得到的直線l′的方程是2x-y-1=0，求直線l的方程．
（2）過點P（-3，0）且傾斜角為30°的直線l和曲線C：（s為參數(shù)）相交于A，B兩點，求線段AB的長．
（3）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數(shù)x，y，z恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出二階矩陣M，由矩陣的乘法得到關(guān)于a、b、c、d的方程組，解方程組可求出M．再設(shè)點P（x，y）是直線l上任一點，在M變換下對應(yīng)的點為P′（x，y），由矩陣的乘法得到x、y、x、y之間的關(guān)系，用x、y表示出x、y，代入已知直線方程即可．
（2）消去s得x與y的方程，與直線方程聯(lián)立，由弦長公式求弦長即可．
（3）不等式|a-1|≥x+2y+2z恒成立，只要|a-1|≥（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
求出x+2y+2z的最大值，再解關(guān)于a的絕對值不等式即可．
解答：解：（1）設(shè)，則由題知=，=
所以，解得，所以M=．
設(shè)點P（x，y）是直線l上任一點，在M變換下對應(yīng)的點為P′（x，y），
那么=即．
因為2x-y-1=0，∴2（-x-4y）-（3x+5y）-1=0 即5x+13y+1=0，
因此直線l的方程是5x+13y+1=0．
（2）由已知，直線的參數(shù)方程為t為參數(shù)），
曲線s為參數(shù)）可以化為x²-y²=4．
將直線的參數(shù)方程代入上式，得．
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，∴t₁+t₂=，t₁t₂=10．
∴AB=|t₁-t₂|=．
（3）由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，當且僅當
即，，時，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數(shù)x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即實數(shù)的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．
點評：本題考查矩陣變換、參數(shù)方程和柯西不等式的應(yīng)用，考查運算能力和運用所學(xué)知識解決問題的能力．