Question

下列代數(shù)式（其中k∈N^*）能被9整除的是（ ）
A．6+6•7^k
B．2+7^k-1
C．2（2+7^k+1）
D．3（2+7^k）

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法，我們根據(jù)歸納法的步驟，可先證明n=1時，3（2+7^k）能被9整除，再假設(shè)當(dāng)k=n（n∈N^*）時3（2+7ⁿ）還能被9整除，進(jìn)而論證k=n+1時的情況，如果命題也成立，說明3（2+7ⁿ）能被9整除，如果命題不成立，則說明3（2+7ⁿ）不能被9整除．
解答：解：（1）當(dāng)k=1時，A答案值為49，B答案值為3，C答案值為102，顯然只有D答案3（2+7^k）能被9整除．
（2）假設(shè)當(dāng)k=n（n∈N^*）時，命題成立，
即3（2+7ⁿ）能被9整除，
那么3（2+7ⁿ⁺¹）=21（2+7ⁿ）-36．
這就是說，
k=n+1時命題也成立．
由（1）（2）可知，
命題對任何k∈N^*都成立．
故選D
點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．