Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x²+y²=4和直線l：x=4，M為l上一動(dòng)點(diǎn)，A₁，A₂為圓C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線MA₁，MA₂與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P、Q．
（1）若M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），求直線PQ方程；
（2）求證直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）求出A₁，A₂的坐標(biāo)，可求直線MA₁的方程、直線MA₂的方程，與圓的方程聯(lián)立，求出P，Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求直線PQ方程；
（2）設(shè)M（4，t），則直線MA₁的方程：y=

t

6

(x+2)，直線MA₂的方程：y=

t

2

(x-2)，分別代入圓的方程，求出P，Q的坐標(biāo)，分類討論，確定直線PQ的方程，即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：當(dāng)M（4，2），
則A₁（-2，0），A₂（2，0）．
直線MA₁的方程：x-3y+2=0，
解

x2+y2=4 x-3y+2=0

得P(

8

5

，

6

5

)．
直線MA₂的方程：x-y-2=0，
解

x2+y2=4 x-y-2=0

得Q（0，-2），
由兩點(diǎn)式可得直線PQ的方程為2x-y-2=0；
（2）證明：設(shè)M（4，t），則直線MA₁的方程：y=

t

6

(x+2)，直線MA₂的方程：y=

t

2

(x-2)
由

y= t 6 (x+2) x2+y2=4

得P(

72-2t2

36+t2

，

24t

36+t2

)
由

y= t 2 (x-2) x2+y2=4

得Q(

2t2-8

4+t2

，

-8t

4+t2

)
當(dāng)t≠±

3

時(shí)，kPQ=

8t

12-t2

，
則直線PQ：y+

8t

4+t2

=

8t

12-t2

(x-

2t2-8

4+t2

)
化簡(jiǎn)得y=

8t

12-t2

x-

8t

12-t2

，恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）
當(dāng)t=±

3

時(shí)，P(1，±

3

)，Q(1，?

3

)，直線PQ：x=1，恒過(guò)定點(diǎn)（1，0）
故直線PQ過(guò)定點(diǎn)（1，0）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線恒過(guò)定點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．