Question

（2009•武漢模擬）（文科做） 如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中M、N、P、Q分別為AD，CD，BB₁，C₁D₁的中點(diǎn)
（1）求點(diǎn)P到平面MNQ的距離；
（2）求直線PN與平面MPQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)PB∥平面MNQ，則P到平面MNQ的距離即為B到平面MNQ的距離，在平面ABCD中，連接BD則BD⊥MN，求出點(diǎn)B到MN的距離即可求出所求；
（2）設(shè)N到MPQ之距為d，然后利用利用等體積法求出d，從而可求出PN與平面MPQ所成角θ的正弦值．

解答：解：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P、Q分別為AD、DC、BB₁、C₁D₁中點(diǎn)
∵PB∥QN即PB∥平面MNQ，∴P到平面MNQ的距離即B到平面MNQ的距離．
在平面ABCD中，連接BD則BD⊥MN，故B到MN之距為

3

4

•

2a

=

3 2a

4

，
因此P到平面MNQ的距離為

3 2a

4

．
（2）在四面體N-MPQ中，Vp-MNQ=

1

3

•(

1

2

•

2

2

a•a)•

3 2a

4

=

a3

8

，又底面三角形MPQ是正三角形，MQ=PQ=MP=

6

2

a    S△MPQ=

3

4

(

6

2

a)2=

3 3

8

a2，
設(shè)N到MPQ之距為d
Vn-MPQ=

1

3

•S△MPQ•d=

1

3

•

3 3

8

a2•d=

a3

8

，
∴d=

a

3

PN=

3 2

a．
故PN與平面MPQ所成角θ的正弦值sinθ=

a 3

3 2 a

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，屬于中檔題．