Question

18．（1）已知函數(shù)f（x）=x²-lnx-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間，且指出函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個數(shù)；
（2）若關(guān)于x的方程ax²-1=lnx有兩解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)f（x）的定義域，再求導(dǎo)化簡f′（x）=$\frac{（\sqrt{2}x+1）（\sqrt{2}x-1）}{x}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求零點(diǎn)的個數(shù)；
（2）化簡可得a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，從而令g（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，求導(dǎo)g′（x）=-$\frac{1+2lnx}{{x}^{3}}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，從而求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=x²-lnx-1的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$=$\frac{（\sqrt{2}x+1）（\sqrt{2}x-1）}{x}$，
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）時，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
又∵f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$（1+ln2）-1＜0，
∴函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)；
（2）∵ax²-1=lnx，
∴a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，令g（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，
則g′（x）=-$\frac{1+2lnx}{{x}^{3}}$，
故當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）時，f′（x）＜0；
故g（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$在（0，$\frac{1}{\sqrt{e}}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{1}{\sqrt{e}}$，+∞）上是減函數(shù)；
故且$\underset{lim}{x→0}$g（x）=-∞，g（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=$\frac{e}{2}$，$\underset{lim}{x→+∞}$g（x）=0，
故當(dāng)0＜a＜$\frac{e}{2}$時，a=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$有兩個不同的根，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{e}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用．