Question

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x-

π

3

）+

3

．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上的值域；
（2）在△ABC中，角A，B，C，所對(duì)的邊分別是a，b，c，若角C為銳角，f（C）=

3

，且c=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用差角的正弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上的值域；
（2）先求出C，再利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，即可求得△ABC面積的最大值．

解答：解：（1）f（x）=4cosxsin（x-

π

3

）+

3

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），…4分
由

π

4

≤x≤

π

2

，有

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，∴得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，2]．…6分
（2）由f（C）=

3

，有sin（2C-

π

3

）=

3

2

，
∵C為銳角，∴2C-

π

3

=

π

3

，∴C=

π

3

．…9分
∵c=2，∴由余弦定理得：a²+b²-ab=4，
∵a²+b²≥2ab，∴4=a²+b²-ab≥ab．
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

，
∴當(dāng)a=b，即△ABC為正三角形時(shí)，△ABC的面積有最大值

3

．…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．