已知橢圓，試確定m的范圍，使橢圓上存在兩個不同的點關于直線y=4x+m對稱．

答案：
解析：

本題重在考查橢圓的幾何性質、對稱問題．先設出兩個對稱點，代入橢圓方

程，兩式相減，然后由橢圓的幾何性質解題．

　　如圖所示，設橢圓上存在兩個不同點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于l：y=4x+m

　　對稱

　　則

　　

　　

　　因為

　　所以

　　再設AB的中點M(x0，y0)

　　則y1+y2=2y0，x1+x2=2x0

　　從而有y0=6x0　　　　　　　　　　　　　 ①

　　又M在l上，所以y0=4x0+m　　　　　　　②

　　由①、②得

　∵　要使橢圓上存在兩點關于直線y=4x+m對稱，從而點M(，3m)在橢圓內部．

　　∴　＜1

　　即+3m2＜1

　　*m2＜

　　∴　-＜m＜

說明：本題利用在橢圓上兩點得到等式相減，可以轉化為有關弦的中點問題，這是很重要的方法，另外P(x0，y0)在橢圓內部＜1．


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