解:(1)∵{a
n}為常數(shù)列,且首項為1,故有a
n=1,
∴f(4)=
+
+
+
=15.
(2)若{a
n}為公比為2的等比數(shù)列,則a
n=2
n-1,(n∈N
+).
=
,
故1+2f(n)=1+
=(1+2)
n=3
n,
∴f(n)=
.
(3)假設(shè)數(shù)列{a
n}能否成等差數(shù)列,使得f(n)-1=(n-1)2
n對一切n∈N
+都成立.
設(shè)公差為d,則
①,
且
②,
把①、②相加可得 2f(n)=2a
n+(a
1+a
n-1)(
+
+
+…+
)
∴f(n)=a
n+
(
+
+
+…+
)
=a
n+
(2
n-2)=1+(n-1)d+[2+(n-2)d](2
n-1-1).
∴f(n)-1=(d-2)+[2+(n-2)d]]•2
n-1=(n-1)2
n 恒成立.
即 (d-2)+(d-2)•[n+2]•2
n-1=0 n∈N
+都成立,∴d=2,
故存在數(shù)列{a
n}使得f(n)-1=(n-1)2
n對一切n∈N
+都成立,且通項公式為a
n=2n-1.(其它方法相應(yīng)給分)
分析:(1)根據(jù){a
n}為常數(shù)列,且首項為1,可得它的通項公式.
(2)若{a
n}為公比為2的等比數(shù)列,則a
n=2
n-1,(n∈N
+),用二項式定理以及倒序相加法求得f(n)的解析式.
(3)假設(shè)數(shù)列{a
n}能否成等差數(shù)列,使得f(n)-1=(n-1)2
n對一切n∈N
+都成立,設(shè)公差為d,用倒序相加法求得f(n)的解析式為 1+(n-1)2
n ,可得(d-2)+[2+(n-2)d]•2
n-1=0 n∈N
+都成立,可得d=2,從而求得數(shù)列{a
n}的通項公式.
點評:本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,等差關(guān)系的確定,等差數(shù)列的通項公式,屬于中檔題.