Question

在多面體ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ACD；
（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B-AD-E的正切值的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，由已知得四邊形DEFG是平行四邊形，由此能證明EF∥平面ACD．
（Ⅱ）過點(diǎn)B作BM垂直DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過M作MH⊥AD，垂足為H，連接BH，則∠BHM是二面角B-AD-E的平面角，由此能求出二面角B-AD-E的正切值的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）證明：取AC中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G．
因?yàn)镕是AB的中點(diǎn)，所以FG是△ABC的中位線，
則FG∥BC，F(xiàn)G=

1

2

BC，
所以FG∥DE，F(xiàn)G=DE，
則四邊形DEFG是平行四邊形，
所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．
（Ⅱ）解：過點(diǎn)B作BM垂直DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
因?yàn)锳E⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，則BM⊥平面ADE，
過M作MH⊥AD，垂足為H，連接BH，則AD⊥平面BMH，
所以AD⊥BH，則∠BHM是二面角B-AD-E的平面角．
設(shè)DE=a，則BC=AB=2a，
在△BEM中，EM=

a

2

，BE=

2

a，所以BM=

7

2

a．
又因?yàn)椤鰽DE∽△MDH，
所以HM=

6

2

a，則tan∠BHM=

42

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．