Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA₁，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥B₁C；
（2）求異面直線AE與A₁C所成的角；
（3）若G為C₁C中點(diǎn)，求二面角C-AG-E的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BB₁⊥面ABC及線面垂直的性質(zhì)可得AE⊥BB₁，由AC=AB，E是BC的中點(diǎn)，及等腰三角形三線合一，可得AE⊥BC，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得AE⊥面BB₁C₁C，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)得到AE⊥B₁C；
（2）取B₁C₁的中點(diǎn)E₁，連A₁E₁，E₁C，根據(jù)異面直線夾角定義可得，∠E₁A₁C是異面直線A與A₁C所成的角，設(shè)AC=AB=AA₁=2，解三角形E₁A₁C可得答案．
（3）連接AG，設(shè)P是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥AG于Q，連EP，EQ，則EP⊥AC，由直三棱錐的側(cè)面與底面垂直，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，可得EP⊥平面ACC₁A₁，進(jìn)而由二面角的定義可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
解答：證明：（1）因?yàn)锽B₁⊥面ABC，AE?面ABC，所以AE⊥BB₁-----------------（1分）
由AB=AC，E為BC的中點(diǎn)得到AE⊥BC-----------------（2分）
∵BC∩BB₁=B∴AE⊥面BB₁C₁C----------------（3分）
∴AE⊥B₁C-----------------（4分）
解：（2）取B₁C₁的中點(diǎn)E₁，連A₁E₁，E₁C，
則AE∥A₁E₁，
∴∠E₁A₁C是異面直線AE與A₁C所成的角．----------------（6分）
設(shè)AC=AB=AA₁=2，則由∠BAC=90°，
可得A₁E₁=AE=，A₁C=2，E₁C₁=EC=BC=
∴E₁C==
∵在△E₁A₁C中，cos∠E₁A₁C==------------------（8分）
所以異面直線AE與A₁C所成的角為．------------------（9分）
（3）連接AG，設(shè)P是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥AG于Q，連EP，EQ，則EP⊥AC----（10分）
又∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁  
∴EP⊥平面ACC₁A₁-------------（11分）
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．-------------（12分）
由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是-----------（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，主要考查了異面直線的夾角，線線垂直的判定，二面角等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔，熟練掌握線面垂直，線線垂直與面面垂直之間的轉(zhuǎn)化及異面直線夾角及二面角的定義，是解答本題的關(guān)鍵．