Question

（本小題滿分12分）如圖,在四棱錐中,平面平面,∥,已知

（1）設(shè)是上的一點(diǎn),求證:平面平面;

（2）當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，點(diǎn)在線段（不含線段端點(diǎn)）上的什么位置時(shí)，二面角的大小為

 

Answer 1

（1）證明如下；（2）時(shí)符合條件；

【解析】

試題分析：（1）考查面面垂直的判定定理，一條線垂直平面中兩條相交的線，則線面平行，經(jīng)過這條線的任何一個平面，都與該平面垂直；（2）考查二面角的問題，二面角是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，部分同學(xué)二面角問題的解決毫無頭緒，再用立體幾何知識解決此類問題，首先我們要判斷好哪個角是二面角，在用空間向量解決此類問題時(shí)，判斷二面角顯得簡單了許多，只要我們選取好法向量即可，對于本題，法向量為，，再代入到數(shù)量積公式即可。

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020106041470996845/SYS201502010604217258987010_DA/SYS201502010604217258987010_DA.004.png">，得，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020106041470996845/SYS201502010604217258987010_DA/SYS201502010604217258987010_DA.006.png">，所以有即 又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015020106041470996845/SYS201502010604217258987010_DA/SYS201502010604217258987010_DA.009.png">平面，且交線為AD，所以，

，故平面平面。。。。。。。。。。。。。。。4分

（2）由條件可知，三角形PAD為正三角形，所以取AD的中點(diǎn)O，連PO，則PO垂直于AD，

由于平面平面，所以PO垂直于平面ABCD，過O點(diǎn)作BD的平行線，交AB于點(diǎn)E,則有,所以分別以為軸，建空間直角坐標(biāo)系

所以點(diǎn)，由于且，得到，

設(shè)（，則有，因?yàn)橛桑?）的證明可知，所以平面PAD的法向量可�。�，設(shè)平面MAD的法向量為，則有即有

由二面角成得，故當(dāng)M滿足：時(shí)符合條件。。。。。。。。。12分

考點(diǎn)：?面面平行的判定定理?平面法向量的求法?數(shù)量積公式