若實數(shù)m、n、p、q滿足m+n=1,p+q=1,mp+nq＞1,求證:m、n、p、q中至少有一個是負數(shù).

證明:假設(shè)m、n、p、q全都不是負數(shù),即m≥0,n≥0,p≥0,q≥0,

則有mq+np≥0.               ①

又m+n=1,p+q=1,

∴(m+n)(p+q)=(mp+nq)+(mq+np)=1.

又mp+nq＞1,

∴mq+np＜0.與①矛盾.

∴假設(shè)不成立.

則原結(jié)論m、n、p、q中至少有一個是負數(shù)成立.

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2-4x-14y+45=0，及點Q（-2，3，），
（1）P（a，a+1）在圓上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率；
（2）若M為圓C上任一點，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）若實數(shù)m，n滿足m2+n2-4m-14n+45=0，求K=
n-3m+2
的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓A：（x-2）2+y2=1，曲線B：6-x=
4-y2
和直線l：y=x．
（1）若點M、N、P分別是圓A、曲線B和直線l上的任意點，求|PM|+|PN|的最小值；
（2）已知動直線m：（a-2）x+by-2a+3=0（a，b∈R）與圓A相交于S、T兩點，又點Q的坐標是（a，b）．
①判斷點Q與圓A的位置關(guān)系；
②求證：當實數(shù)a，b的值發(fā)生變化時，經(jīng)過S、T、Q三點的圓總過定點，并求出這個定點坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a，b是兩個不等的正實數(shù)，設(shè)m=
a2+b2
2
，n=
a+b
2
，p=
ab
，q=
2ab
a+b
，那么m，n，p，q的大小順序是（　　）
A、m＞n＞p＞q
B、m＞p＞n＞q
C、m＞n＞q＞p
D、n＞p＞m＞q

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2008-2009學(xué)年安徽省宣城市郎溪中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（必修2）（解析版） 題型：解答題

已知圓C：x2+y2-4x-14y+45=0，及點Q（-2，3，），
（1）P（a，a+1）在圓上，求線段PQ的長及直線PQ的斜率；
（2）若M為圓C上任一點，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）若實數(shù)m，n滿足m2+n2-4m-14n+45=0，求的最大值和最小值．

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