Question

已知A、B兩地相距200km，一只船從A地逆水行駛到B地，水速為6km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（6＜v≤20）．若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的立方成正比，當v=8km/h時每小時的燃料費用為1024元，為了使全程燃料費最省，船的實際航行速度為多少？并求全程燃料費用最小值．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意，首先設(shè)每小時的燃料費用為y₁，比例常數(shù)為k（k＞0），則y1=kv3，從而求得k=2；再設(shè)全程燃料費為y，從而可得y=y1•

200

v-6

=

400v3

v-6

(6＜v≤20)；求導(dǎo)確定最小值即可．

解答： 解：設(shè)每小時的燃料費用為y₁，比例常數(shù)為k（k＞0），
則y1=kv3，
當v=8時，y₁=1024，
∴1024=k•8³
∴k=2；
設(shè)全程燃料費為y，由題意得，
y=y1•

200

v-6

=

400v3

v-6

(6＜v≤20)；
∴y′=

800v2(v-9)

(v-6)2

；
令y'=0，得v=9；
當6＜v＜9時，y'＜0；當9＜v＜20時，y'＞0；
∴當v=9時，y_min=97200；
故當v=9km/h時，全程燃料費用最小，且為97200元．

點評：本題考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．