Question

設函數(shù)f（x）=lnx-px+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當p＞0時，若對任意的x＞0，恒有f（x）≤0，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導，分別解f′（x）＞0，f′（x）＜0
（II）結(jié)合（I）p＞0時函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求函數(shù)f（x）的最大值，對任意的x＞0，恒有f（x）≤0?f（x）_max≤0，代入求解p的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-px+1，
∴f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-p=

1-px

x

（2分）
當p≤0時，f'（x）＞0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）（3分）
當p＞0時，令f'（x）=0，∴x=

1

p

∈（0，+∞），f'（x）、f（x）隨x的變化情況如表：
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

p

)，單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

p

，+∞)（6分）
（Ⅱ）當p＞0時在x=

1

p

處取得極大值f(

1

p

)=ln

1

p

，此極大值也是最大值，
要使f（x）≤0恒成立，只需f(

1

p

)=ln

1

p

≤0，
∴

1

p

≤1，p≥1
∴p的取值范圍為[1，+∞）（12分）

點評：本題考查了導數(shù)的應用：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值，在求解中不能忽略了對函數(shù)定義域的判定，當函數(shù)中含有參數(shù)時，要注意對參數(shù)的分類討論，本題又考查了函數(shù)的恒成立問題，這也是高考在導數(shù)部分的重點考查的知識點．