Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2Sn=3an-2n，(n∈N*)．
（1）求證：數(shù)列{1+a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)Tn=

a1

1+a2

+

a2

1+a3

+

a3

1+a4

+…+

an

1+an+1

，n∈N*，求證：Tn＞

2n-1

6

．

Answer 1

分析：（1）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2Sn=3an-2n，(n∈N*)．利用公式s_n-s_n-1=a_n，進(jìn)行證明要驗(yàn)證首項(xiàng)；
（2）由（1）知道a_n的通項(xiàng)公式，代入

an

1+an+1

，再根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算，求出T_n，即可證明；

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2Sn=3an-2n，(n∈N*)①．
n=1可得2s₁=3a₁-2，可得a₁=2，
∴2Sn-1=3an-1-2(n-1)，(n∈N*)②，
①-②可得2a_n=3a_n-3a_n-1-2n+2n+2
∴a_n=3a_n-1+2可得（a_n+1）=3（a_n-1+1）
∴

an+1

an-1+1

=3，所以數(shù)列{1+a_n}是等比數(shù)列，
首項(xiàng)1+a₁=1+2=3，
∴1+a_n=3×3 ^n-1，∴a_n=3ⁿ-1，n=1時(shí)滿足題意，
a_n=3ⁿ-1；
（2）∵a_n=3ⁿ-1，
∴

an

1+an+1

=

3n-1

3n+1

=

1

3

-

1

3n+1

，
∴Tn=

a1

1+a2

+

a2

1+a3

+

a3

1+a4

+…+

an

1+an+1

=

n

3

-（

1

32

+

1

33

+…+

1

3n+1

）
=

n

3

-

1 9 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

n

3

-

1

6

（1-

1

3n

）=

2n-1+ 1 3n

6

＞

2n-1

6

，
∴T_n＞

2n-1

6

；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，還考查了學(xué)生的計(jì)算能力，此題是一道中檔題；