Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，且，為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接，交與點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)是中位線(xiàn)，故，所以平面；（2）如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量求得線(xiàn)面角的正弦值為.

試題解析：

（1）連接，交與點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn)，

又∵是的中點(diǎn)，∴是△a的中位線(xiàn)，

∴，又∵平面，平面，

∴平面．

（2）∵，，，∴平面，

如圖，以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

∴，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，

，令，則，，

∴，又∵，

∴，

∴直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為．