(2009全國卷Ⅱ文)(本小題滿分12分).   

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分別為AA1、B1C的中點,DE⊥平面BCC1

(Ⅰ)證明:AB=AC    

(Ⅱ)設(shè)二面角A-BD-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小

解析:本題考查線面垂直證明線面夾角的求法,第一問可取BC中點F,通過證明AF⊥平面BCC1,再證AF為BC的垂直平分線,第二問先作出線面夾角,即證四邊形AFED是正方形可證平面DEF⊥平面BDC,從而找到線面夾角求解。此題兩問也可建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法求解。

解法一:(Ⅰ)取BC中點F,連接EF,則EF,從而EFDA。

連接AF,則ADEF為平行四邊形,從而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,從而AF⊥BC,即AF為BC的垂直平分線,所以AB=AC。

(Ⅱ)作AG⊥BD,垂足為G,連接CG。由三垂線定理知CG⊥BD,故∠AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設(shè)知,∠AGC=600..

    設(shè)AC=2,則AG=。又AB=2,BC=,故AF=。

得2AD=,解得AD=。

故AD=AF。又AD⊥AF,所以四邊形ADEF為正方形。

因為BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。

連接AE、DF,設(shè)AE∩DF=H,則EH⊥DF,EH⊥平面BCD。

連接CH,則∠ECH為與平面BCD所成的角。.   

因ADEF為正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,

所以∠ECH=300,即與平面BCD所成的角為300.

解法二:

(Ⅰ)以A為坐標(biāo)原點,射線AB為x軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz。

設(shè)B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),則(1,0,2c),E(,,c).

于是=(,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC, =0,求得b=1,所以    AB=AC。

(Ⅱ)設(shè)平面BCD的法向量

=(-1,1, 0),

=(-1,0,c),故    

令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).

又平面的法向量=(0,1,0)

由二面角為60°知,=60°,

故  °,求得    

于是   , 

,

            °

所以與平面所成的角為30°

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(2009全國卷Ⅰ文)(本小題滿分12分)(注意:在試題卷上作答無效)

甲、乙二人進行一次圍棋比賽,約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利,比賽結(jié)束。假設(shè)在一局中,甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,各局比賽結(jié)果相互獨立。已知前2局中,甲、乙各勝1局。

(Ⅰ)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率;

(Ⅱ)求甲獲得這次比賽勝利的概率。

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(2009全國卷Ⅱ文)已知△ABC中,,則

A.            B.            C.       D.

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(A)       (B)       (C)         (D)

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 (2009全國卷Ⅱ文) 已知正四棱柱中,=,重點,則異面直線所形成角的余弦值為

(A)          (B)             (C)      (D)      

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