Question

已知△ABC中，cosB=

11

14

，cosC=

13

14

，BC=7
（1）求cosA
（2）求|

AB

+

AC

|．

Answer 1

分析：（1）由cosB和cosC的值，由B和C為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出sinB和sinC的值，然后由誘導(dǎo)公式得到cosA=-cos（B+C），利用兩角和的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，把各自的值代入即可求出cosA的值；
（2）先由BC的長(zhǎng)，sinA，sinB及sinC的值，利用正弦定理求出AC與AB的長(zhǎng)，然后把所求的式子平方，化簡(jiǎn)后將AC與AB的長(zhǎng)代入，并利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算得到最后結(jié)果，開(kāi)方即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）∵cosB=

11

14

，cosC=

13

14

，
∴sinB=

1-cos2B

=

5 3

14

，sinC=

1-cos2C

=

3 3

14

，
則cosA=cos[π-（B+C）]=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC
=-

11

14

×

13

14

+

5 3

14

×

3 3

14

=-

1

2

；
（2）由正弦定理可得

BC

3 2

=

AC

5 3 14

=

AB

3 3 14

，又BC=7，
所以AC=5，AB=3，
由|

AB

+

AC

|平方得：|

AB

+

AC

|²=

|AB

|2+

|AC

|2+2

AB

•

AC

=25+9+2×5×3cosA=34-15=19，
則|

AB

+

AC

|=

19

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦函數(shù)公式，正弦定理及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，熟練掌握公式、法則及定理是解本題的關(guān)鍵．