已知△ABC中,(tanA+1)(tanB+1)=2,AB=2,求:
(1)角C的度數(shù);
(2)求三角形ABC面積的最大值.

解:記角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c
(1)tanA+tanB+tanAtanB+1=2,即tanA+tanB=1-tanAtanB,
∵1-tanAtanB≠0,
∴tan(A+B)==1,
即tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-1,
∵C∈(0,π),∴C=;
(2)由余弦定理a2+b2-2abcosC=c2得:
a2+b2+2×ab=4,即a2+b2+ab=4,
而4-ab=a2+b2≥2ab,即ab≤4-2,
所以S△ABC=absinC=ab≤(4-2)=-1.
分析:(1)把已知的等式(tanA+1)(tanB+1)=2變形,利用兩角和的正切函數(shù)公式即可求出tan(A+B)的值,利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式即可求出tanC的值,根據(jù)C的范圍,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù);
(2)由AB即c的值和cosC的值,利用余弦定理即可表示出關(guān)于a與b的關(guān)系式,利用基本不等式求出ab的最大值,然后利用三角形的面積公式,由求出的ab的最大值和sinC的值即可求出三角形ABC面積的最大值.
點評:此題考查學(xué)生靈活運用兩角和的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡求值,靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值,會利用基本不等式求函數(shù)的最大值,是一道中檔題.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,
AB
=(-
3
sinx,sinx),
AC
=(sinx,cosx)

(1)設(shè)f(x)=
AB
AC
,若f(A)=0,求角A的值;
(2)若對任意的實數(shù)t,恒有|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|
,求△ABC面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(選做題)本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,若多做,則按作答的前兩題評分,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.[選修4-1:幾何證明選講]
已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(不與點A,C重合),延長BD至點E.
求證:AD的延長線平分∠CDE
B.[選修4-2:矩陣與變換]
已知矩陣A=
12
-14

(1)求A的逆矩陣A-1
(2)求A的特征值和特征向量.
C.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ,以極點為原點,極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
(t為參數(shù)),求直線l被曲線C截得的線段長度.
D.[選修4-5,不等式選講](本小題滿分10分)
設(shè)a,b,c均為正實數(shù),求證:
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,D、E分別為邊BC、AC的中點,AD、BE交于點G,
BM
ME
DN
NA
,其中λ,μ>0,
MN
=t
BC
(t∈R)
,S△ABC=1,則S△GMN的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,且
(AB)2
=
AB
AC
+
BA
BC
+
CA
CB

(Ⅰ)判斷△ABC的形狀,并求t=sinA+sinB的取值范圍;
(Ⅱ)若不等式a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)≥kabc,對任意的滿足題意的a,b,c都成立,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知△ABC中,∠C=
π
2
.設(shè)∠CBA=θ,BC=a,它的內(nèi)接正方形DEFG的一邊EF在斜邊AB上,D、G分別在AC、BC上.假設(shè)△ABC的面積為S,正方形DEFG的面積為T.用a,θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積T;
設(shè)f(θ)=
T
S
,試求f(θ)的最大值P,并判斷此時△ABC的形狀.

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