已知△ABC中，（tanA+1）（tanB+1）=2，AB=2，求：
（1）角C的度數(shù)；
（2）求三角形ABC面積的最大值．

解：記角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c
（1）tanA+tanB+tanAtanB+1=2，即tanA+tanB=1-tanAtanB，
∵1-tanAtanB≠0，
∴tan（A+B）==1，
即tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-1，
∵C∈（0，π），∴C=；
（2）由余弦定理a2+b2-2abcosC=c2得：
a2+b2+2×ab=4，即a2+b2+ab=4，
而4-ab=a2+b2≥2ab，即ab≤4-2，
所以S△ABC=absinC=ab≤（4-2）=-1．
分析：（1）把已知的等式（tanA+1）（tanB+1）=2變形，利用兩角和的正切函數(shù)公式即可求出tan（A+B）的值，利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式即可求出tanC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由AB即c的值和cosC的值，利用余弦定理即可表示出關(guān)于a與b的關(guān)系式，利用基本不等式求出ab的最大值，然后利用三角形的面積公式，由求出的ab的最大值和sinC的值即可求出三角形ABC面積的最大值．
點評：此題考查學(xué)生靈活運用兩角和的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡求值，靈活運用余弦定理及三角形的面積公式化簡求值，會利用基本不等式求函數(shù)的最大值，是一道中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，
AB
=(-
3
sinx，sinx)，
AC
=(sinx，cosx)
（1）設(shè)f(x)=
AB
•
AC
，若f（A）=0，求角A的值；
（2）若對任意的實數(shù)t，恒有|
AB
-t
AC
|≥|
BC
|，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點（不與點A，C重合），延長BD至點E．
求證：AD的延長線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=
12
-14

（1）求A的逆矩陣A-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，以極點為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設(shè)a，b，c均為正實數(shù)，求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，D、E分別為邊BC、AC的中點，AD、BE交于點G，
BM
=λ
ME
，
DN
=μ
NA
，其中λ，μ＞0，
MN
=t
BC
(t∈R)，S△ABC=1，則S△GMN的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
(AB)2
=
AB
•
AC
+
BA
•
BC
+
CA
•
CB
．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀，并求t=sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc，對任意的滿足題意的a，b，c都成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知△ABC中，∠C=
π
2
．設(shè)∠CBA=θ，BC=a，它的內(nèi)接正方形DEFG的一邊EF在斜邊AB上，D、G分別在AC、BC上．假設(shè)△ABC的面積為S，正方形DEFG的面積為T．用a，θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積T；
設(shè)f(θ)=
T
S
，試求f（θ）的最大值P，并判斷此時△ABC的形狀．

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