Question

設函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行．
（Ⅰ）求m的值與該切線方程；
（Ⅱ）若對任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，則求M的最小值；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1，試證明：

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

9

10

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數(shù)的幾何意義，及函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行，可求求m的值與該切線方程；
（Ⅱ）利用導數(shù)求解最值，要使對任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，則M≥最大值-最小值；
（Ⅲ）利用不等式間的等價轉(zhuǎn)化求解，證明

x

1+x2

≤

27

50

(2x-x2)即可．

解答：（Ⅰ）解：∵f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得m=-1或m=-7
∵m＞-2，∴m=-1
∴f（x）=-x³+2x²-x+2
∴f（2）=-8+8-2+2=0
∴該切線方程為y=-5x+10；
（Ⅱ）解：f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x₂=

1

3

，列表如下

x	0	(0， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，1)	1
f'（x）		-		+
f（x）	2	遞減	50 27	遞增	2

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為f（

1

3

）=

50

27

，最大值為2．
要使對任意的x₁，x₂∈[0，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤M恒成立，則M≥2-

50

27

=

4

27

∴M的最小值為

4

27

；
（Ⅲ）證明：∵f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x）
由（Ⅱ）知，當x∈[0，1]時，（1+x²） （2-x）≥

50

27

，

∴ 1 (1+x2) ≤ 27 50 (2-x)

∴

x

1+x2

≤

27

50

(2x-x2)（當x=

1

3

時取等號）
當a≥0，b≥0，c≥0且a+b+c=1時，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1

∴ a 1+a2 + b 1+b2 + c 1+c2 ≤ 27 50 [2(a+b+c)-(a2+b2+c2)]= 27 50 [2-(a2+b2+c2)]，

∵（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3（a²+b²+c²），
∴a²+b²+c²≥

1

3

，
∴

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

(2-

1

3

)=

9

10

（當且僅當a=b=c=

1

3

時取等號）．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，用好導數(shù)是關鍵．