Question

20．過(guò)原點(diǎn)O作斜率為k₁（k₁≠0）的直線l交拋物線Γ：y=$\frac{1}{4}$x²-1于A，B 兩點(diǎn)，
（1）當(dāng)k₁=1時(shí)，求$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$的值；
（2）已知M（0，3），延長(zhǎng)AM交拋物線Γ于C點(diǎn)，延長(zhǎng)BM交拋物線Γ于D點(diǎn)．記直線CD的斜率為k₂，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)λ，都有k₂=λk₁成立，如果存在，請(qǐng)求出λ的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組，解出A，B坐標(biāo)，計(jì)算|OA|，|OB|即可得出答案；
（2）聯(lián)立方程組，得出A，B坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)三點(diǎn)共線得出C，D坐標(biāo)與A，B坐標(biāo)的關(guān)系，從而得出k₂與k₁的關(guān)系．

解答 解：（1）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，消去y得x²-4x-4=0，
解得x=y=2-2$\sqrt{2}$或x=y=2+2$\sqrt{2}$，
∴|OA|=$\sqrt{2}$（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，|OB|=$\sqrt{2}$（2+2$\sqrt{2}$）=4+2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{|OA|}+\frac{1}{|OB|}$=$\frac{1}{4-2\sqrt{2}}+\frac{1}{4+2\sqrt{2}}$=$\frac{4+2\sqrt{2}}{8}$+$\frac{4-2\sqrt{2}}{8}$=1．
（2）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，消去y得x²-4k₁x-4=0，
△=16k₁²+16＞0恒成立，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k₁，x₁x₂=-4，
設(shè)C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
直線AM方程為y=$\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}}$x+3，代入y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$-1得$\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}}x-4=0$，
∴x₁x₃=-16，即x₃=-$\frac{16}{{x}_{1}}$．
同理，x₄=-$\frac{16}{{x}_{2}}$，
∴k₂=$\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{1}{4}$（x₃+x₄）=$\frac{1}{4}$（-$\frac{16}{{x}_{1}}$-$\frac{16}{{x}_{2}}$）=-$\frac{4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=4k₁，
∴λ=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．