Question

（2012•江蘇一模）平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x-y+1=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為

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（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長最小時，求直線l的方程；
（3）設(shè)M，P是圓O上任意兩點，點M關(guān)于x軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點（m，0）和（n，0），問mn是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出O點到直線x-y+1=0的距離，進而可求圓O的半徑，即可得到圓O的方程；
（2）設(shè)直線l的方程，利用直線l與圓O相切，及基本不等式，可求DE長最小時，直線l的方程；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（x₁，-y₁），x12+y12=2，x22+y22=2，求出直線MP、NP分別與x軸的交點，進而可求mn的值．

解答：解：（1）因為O點到直線x-y+1=0的距離為

1

2

，（2分）
所以圓O的半徑為

( 1 2 )2+( 6 2 )2

=

2

，
故圓O的方程為x²+y²=2．                         （4分）
（2）設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1(a＞0，b＞0)，即bx+ay-ab=0，
由直線l與圓O相切，得

|ab|

a2+b2

=

2

，即

1

a2

+

1

b2

=

1

2

，（6分）
DE2=a2+b2=2(a2+b2)(

1

a2

+

1

b2

)≥8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號，此時直線l的方程為x+y-2=0．（10分）
（3）設(shè)M（x₁，y₁），P（x₂，y₂），則N（x₁，-y₁），x12+y12=2，x22+y22=2，
直線MP與x軸交點(

x1y2-x2y1

y2-y1

，0)，m=

x1y2-x2y1

y2-y1

，
直線NP與x軸交點(

x1y2+x2y1

y2+y1

，0)，n=

x1y2+x2y1

y2+y1

，（14分）
mn=

x1y2-x2y1

y2-y1

×

x1y2+x2y1

y2+y1

=

x12y22-x22y12

y22-y12

=

(2-y12)y22-(2-y22)y12

y22-y12

=2，
故mn為定值2．                                （16分）

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．