已知各項不為零數(shù)列{an}滿足a1=
2
3
,且對任意的正整數(shù)m,n都有am+n=am•an,求:
(1)
an
a1n
的值;
(2)(
a2014
a2013
)2014+(
a2012
a2011
)2012+(
a2010
a2009
)2010+…+(
a4
a3
)4+(
a2
a1
)2
的值.
分析:(1)令m=1,推導出
an+1
an
=
2
3
,從而得到數(shù)列{an}是首項為a1=
2
3
,公比為q=
2
3
的等比數(shù)列,由此能求出
an
a1n 
的值.
(2)由
an+1
an
=
2
3
,把(
a2014
a2013
)2014+(
a2012
a2011
)2012+(
a2010
a2009
)2010+…+(
a4
a3
)4+(
a2
a1
)2
等價轉(zhuǎn)化為(
2
3
)2014+(
2
3
)2012+…+(
2
3
)2
,再由等比數(shù)列的前n項和公式能求出結(jié)果.
解答:解:(1)令m=1,得an+1=a1•an,…(3分)
∵an≠0,∴
an+1
an
=a1=
2
3
,…(4分)
∴數(shù)列{an}是首項為a1=
2
3
,公比為q=
2
3
的等比數(shù)列 …(5分)
于是an=
2
3
•(
2
3
(n-1)=(
2
3
n,
an
a1n 
=1.…(7分)
(2)∵
an+1
an
=a1=
2
3

(
a2014
a2013
)2014+(
a2012
a2011
)2012+(
a2010
a2009
)2010+…+(
a4
a3
)4+(
a2
a1
)2

=(
2
3
)2014+(
2
3
)2012+…+(
2
3
)2
…(9分)
=
(
2
3
)
2
(1-(
2
3
)
2•1007
)
1-(
2
3
)
2
…(11分)
=
4(1-(
2
3
)
2•1007
)
5
…(12分)
點評:本題考查數(shù)列遞推公式的應用,考查數(shù)列前n項和公式的求法,解題時要認真審題,注意等比數(shù)列前n項和公式的合理運用.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2008•湖北模擬)對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點.如果函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)
有且僅有兩個不動點0、2,且f(-2)<-
1
2

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1
,求證:-
1
an+1
<ln
n+1
n
<-
1
an
;
(3)設bn=-
1
an
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:T2008-1<ln2008<T2007

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),若存在xo∈R,使f(xo)=xo成立,則稱xo為f(x)的不動點.如果函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個不動點0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,求證:-
1
an+1
<ln
n+1
n
<-
1
an
;
(3)設bn=-
1
an
,Tn為數(shù)列{bn}的前n項和,求證:T2009-1<ln2009<T2008

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點,如果函數(shù)f(x)=
x2
ax-b
(a,b∈N)有且只有兩個不動點為0、2,且b<3.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式并寫出函數(shù)f(x)的定義域;
(2)已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足:4Sn•f(
1
an
)=1
,且Sn=a1+a2+…+an,Tn=
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
,求Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點.如果函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N)有且只有兩個不動點0,2,且f(-2)<-
1
2
,
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,求數(shù)列通項an
(3)如果數(shù)列{an}滿足a1=4,an+1=f(an),求證:當n≥2時,恒有an<3成立.

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