Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，長軸長為2$\sqrt{3}$，直線l：y=kx+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若以AB為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)O，證明：原點(diǎn)O到直線l的距離為定值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，由以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即為x₁x₂+y₁y₂=0，化簡整理，再由點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，長軸長為2$\sqrt{3}$，
可得a=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，可得c=$\sqrt{2}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3-2}$=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
證明：（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，
消y可得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即有（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）•$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$-km•$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$+m²=0，
∴4m²=3（k²+1），
∴原點(diǎn)O到直線l的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即點(diǎn)O到直線AB的距離為定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查直線與橢圓的綜合，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．