Question

2．如圖，正四面體V-ABC中，D是棱VC的中點，則AD與面ABC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 設底面ABC的中心為F，則D在底面的射影為CF的中點G，于是∠DAG為所求線面角，設正四面體的棱長為2，求出AD和DG即可得出答案．

解答 解：取AB的中點E，連接CE，VE，
過V作VF⊥平面ABC，則F為△ABC的中心，
設正四面體的棱長為2，則CE=$\sqrt{3}$，CF=$\frac{2}{3}CE$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
取CF的中點G，連接DG，則DG∥VF，
∴DG⊥平面ABC，∴∠DAG為AD與平面ABC所成的角，
∵VF=$\sqrt{V{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，∴DG=$\frac{1}{2}$VF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又AD=CE=$\sqrt{3}$，
∴sin∠DAG=$\frac{DG}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了直線與平面所成角的計算，作出所求的線面角是解題關鍵，屬于中檔題．