Question

如圖，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D為線段AB的中點(diǎn)．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的．記二面角B-AO-C的大小為θ．
（Ⅰ） 當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí)，求θ的值；
（Ⅱ） 當(dāng)θ∈[，]時(shí)，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：解法一（向量法）：（I）以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，我們分別求出平面COD和平面AOB的法向量，根據(jù)兩個(gè)向量垂直則兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，可構(gòu)造關(guān)于θ的方程，代入即可得到θ的值；
（II）設(shè)二面角C-OD-B的大小為α，根據(jù)θ∈（，]，cosα=，我們易確定出cosα的范圍，即二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍．
解法二（幾何法）：（I）在平面AOB內(nèi)過(guò)B作OD的垂線，垂足為E，根據(jù)平面COD⊥平面AOB，由面面垂直及線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合二面角的定義，即可得到二面角B-AO-C的平面角為∠COB，進(jìn)而求出θ的值；
（Ⅱ）過(guò)C作OB的垂線，垂足為F，過(guò)F作OD的垂線，垂足為G，連接CG，則∠CGF的補(bǔ)角為二面角C-OD-B的平面角，根據(jù)θ∈[，]，我們易求出cos∠CGF的取值范圍．
解答：解法一：（Ⅰ） 如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則A （0，0，2），B （0，2，0），
D （0，1，），C （2sinθ，2cosθ，0）．
設(shè)=（x，y，z）為平面COD的一個(gè)法向量，
由得
取z=sinθ，則=（cosθ，-sinθ，sinθ）．因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為=（1，0，0），由平面COD⊥平面AOB得•=0，
所以cosθ=0，即θ=． …（7分）
（Ⅱ） 設(shè)二面角C-OD-B的大小為α，由（Ⅰ）得當(dāng)θ=時(shí)，cosα=0；
當(dāng)θ∈（，]時(shí)，tanθ≤-，cosα===-，
故-≤cosα＜0．綜上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[-，0]．   （14分）
解法二：（Ⅰ）  解：在平面AOB內(nèi)過(guò)B作OD的垂線，垂足為E，因?yàn)槠矫鍭OB⊥平面COD，
平面AOB∩平面COD=OD，所以BE⊥平面COD，故BE⊥CO．
又因?yàn)镺C⊥AO，所以O(shè)C⊥平面AOB，故OC⊥OB．
又因?yàn)镺B⊥OA，OC⊥OA，所以二面角B-AO-C的平面角為∠COB，
即θ=．             …（7分）
（Ⅱ） 解：當(dāng)θ=時(shí)，二面角C-OD-B的余弦值為0；當(dāng)θ∈（，]時(shí)，
過(guò)C作OB的垂線，垂足為F，過(guò)F作OD的垂線，垂足為G，連接CG，
則∠CGF的補(bǔ)角為二面角C-OD-B的平面角．在Rt△OCF中，CF=2 sinθ，OF=-2cosθ，
在Rt△CGF中，GF=OF sin=-cosθ，CG=，
所以cos∠CGF==-．因?yàn)棣取剩?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125635740311911/SYS201310251256357403119018_DA/35.png">，]，tanθ≤-，
0＜cos∠CGF=≤．余弦值的取值范圍為[-，0]．   …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何問(wèn)題，平面與平面垂直的性質(zhì)，其中向量的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將空間面面垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量垂直問(wèn)題，將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題，幾何法中（I）的關(guān)鍵是確定出二面角B-AO-C的平面角為∠COB，∠CGF的補(bǔ)角為二面角C-OD-B的平面角．